19-21_0270

Задание 19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• убрать из кучи $2$ камня;
• убрать из кучи $5$ камней;
• уменьшить количество камней в куче в $3$ раза; результат деления округляется вниз.

Игра завершается, когда после хода в куче остаётся $15$ или менее камней. Проигравшим считается игрок, сделавший этот ход; другой игрок выигрывает. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S > 15$.

Назовём ход безопасным, если после него в куче остаётся более $15$ камней. Назовём позицию безвыходной, если из неё нет безопасных ходов: любой разрешённый ход немедленно приводит к поражению ходящего.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

В заданиях 19–21 требуется определить, каким своим ходом игрок может поставить соперника в безвыходную позицию. При проверке этого требования рассматриваются только безопасные ходы соперника. Если соперник выбирает небезопасный ход, он сразу проигрывает и дальнейшего продолжения этой партии нет. Во всех трёх заданиях рассматриваются только начальные значения $S$, при которых у Пети есть хотя бы один безопасный первый ход.

Укажите минимальное значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия:

• Петя не может своим первым ходом поставить Ваню в безвыходную позицию;
• после любого безопасного первого хода Пети Ваня может своим первым ходом поставить Петю в безвыходную позицию.

Задание 20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может своим первым ходом поставить Ваню в безвыходную позицию;
• Петя может своим вторым ходом поставить Ваню в безвыходную позицию независимо от того, какие безопасные ходы выбирает Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему поставить Петю в безвыходную позицию первым или вторым своим ходом при любых безопасных ходах Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно поставить Петю в безвыходную позицию первым своим ходом.