19-21_0293

Задание 19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи
камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень либо увеличить количество
камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть
неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда сумма количества камней в кучах становится не менее 145.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший
позицию, в которой условие завершения игры выполнено.

В начальный момент в первой куче было 7 камней, во второй куче -
$S$ камней, $1 \leq S \leq 137$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при
любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети.
Укажите минимальное значение $S$, когда такая ситуация возможна.

Задание 20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения $S$, при которых
у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение $S$, при котором
одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым
  ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.