19-21_0297

Задание 19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• убрать из кучи $3$ камня;
• убрать из кучи $5$ камней;
• уменьшить количество камней в куче в $4$ раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, из кучи в $40$ камней за один ход можно получить кучу из $37$, $35$ или $10$ камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более $65$. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из $65$ или менее камней. В начальный момент в куче было $S$ камней, $S \ge 66$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение $S$, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Задание 20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения $S$, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если найдено несколько значений $S$, в ответе запишите наименьшее из них.