19-21_0366

Задание 19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• убрать из кучи 2 камня;
• убрать из кучи 5 камней;
• уменьшить количество камней в куче в 3 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Проигравшим считается игрок, впервые получивший кучу из 15 или менее камней. В начальный момент в куче было S камней, S > 15.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может за один ход поставить Ваню в заведомо проигрышную позицию, но при любом ходе Пети Ваня может своим первым ходом поставить Петю в заведомо проигрышную позицию.

Задание 20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может за один ход поставить Ваню в заведомо проигрышную позицию;
• Петя может своим вторым ходом поставить Ваню в заведомо проигрышную позицию независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Задание 21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему поставить Петю в заведомо проигрышную позицию первым или вторым своим ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно поставить Петю в проигрышную позицию первым своим ходом.